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erelraenkel集理论公理

从过渡性模型重定向

erelrankel集理论与选择公理是集合理论家使用公理的标准集合。用于表达每个公理的正式语言是一阶的，具有平等性和一个二进制关系符号，，意在表示集合成员资格。零集公理和分离模式被后来更具包容性的公理所取代。

公理

扩展性

集合由其元素唯一确定。这正式表示为

xyzzxzyxyxyzzxzyxy

“”可以替换为“”，但是方向是一个逻辑定理。或者，可延伸性公理可以作为平等的定义，也可以用它来代替它：

xyaaxaybxbybxyaaxaybxbyb

意味着具有相同元素的集合属于相同的集合。

空集

有一些集合。事实上，有一套没有成员。这是正式表达的

xyyxxyyx

这样一个x按扩展性是唯一的，此集合表示为。

配对

对于任何两套xx和yy不一定不同还有一套zz谁的成员正是布景？xx和yy。

xyzzxyxyzzxy

这样一个z因扩展性而独一无二，并表示为x，yx，y。

工会

对于任何一套xx还有一套yy其成员正是所有成员xx。也就是说，集合的所有成员的联盟都存在。这正式表示为

xyzzyxzxyzzyxz

这样一个y因扩展性而独一无二，并被写成yxyx。

基础或规律性

每套非空集x成员与x，确保任何集合都不能直接或间接包含自己。这正式表示为

xyxzzxzyxyxzzxzy

同样，根据选择公理，没有无限的降序x2x1x0x2x1x0。

分离模式

对于任何一套aa和任何谓词xx用的语言写，集合xaxxax存在。更详细地说，给定任何公式有自由变量x1，x2，…，xnx1，x2，…，xn以下是一个公理：

ax1x2…xnyzzyzax1，x2，…，xn，zax1x2…xnyzzyzax1，x2，…，xn，z

这样一个y，以扩展性独一无二，并被写入适用于固定集a，x1…，xna，x1…，xnyzax1，x2，…，xn，zyzax1，x2，…，xn，z。

到目前为止，我们无法证明无限集的存在。即，是前五个公理和无限多分离实例的模型。每个成员事实上是有限的是世袭有限集的集合。这基本上是标准模型。

无限

有无限的集合。这正式表示为

xxzzxzzxxxzzxzzx

此时我们可以定义，，，，和在，得出基本事实以及数学归纳原理即，我们可以证明皮亚诺公理在，，，，。但我们还不能证明一个数不清的集合的存在。

电源设置

对于任何一套x还有一套y作为成员，所有子集x没有其他元素。y是电源集x。这正式表示为

xyzzyzxxyzzyzx

独特的yy写成yxyx

定义有序对a，ba，b是a，a，ba，a，b。关系作为有序对的集合，函数作为关系ff以至于a，bfa，bf和a，fa，f暗示bb。